by 元素和集合间的属于符号的由来
a∈A“∈”是意大利数学家皮亚诺在1889年。
当然数集n的来历
1994年11月国家质监局公布的《中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号》中,将自然数集记作 N={0,1,2,3,…}而将该当然数集称之为非零当然数集N (或N*)={1,2,3,…}.由此可见：当然数集就是所有非负整数的集合!
reality 实际，R表明实数集 nature 当然，N表明整数
集合的诞生有哪些数学意义
“集合论”在数学发展史上具备无可取代的重要地位，现代数学的每个支系都以“集合基础理论”为载体构建的，如果抛开“集合论”谈数学课”，将无从说起。
函数是数学生命，而“集合”是函数基本，当代函数公式主要是以“集合”这个概念来衡量的，不难看出“集合”在现代数学中所处无法替代的重功效。
集合的发展历程
集合论发展史:
古典集合论
提到古典集合论，我们必须要先介绍一下这背后奉献最大的一个数学家——康托尔（为数字而“疯”
的数学家），这个人是古典集合论创始人，规范了古典集合论的大多数基础知识，针对集合论的形成，占据至关重要的作用。康托尔于1845年3月3日出生在俄罗斯圣彼得堡市，自小对数学有着浓厚的快乐，1863年进到柏林大学，以后获得哈勒大学的教授岗位，此后一直从事着集合论的开创工作中。
黎曼于1854年在毕业论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中指出函数三角等级表明的唯一性难题，1870年，康托尔应邀海涅解决这一问题，她在1871-1872年间，逐步把三角等级进行的唯一性标准扩展到容许除外值变成无穷无尽状况，意识到了无限集合
的必要性，这也是集合论所产生的一个根本原因。
1873年，康托尔取决于戴日丰的来信中，公布验证了实数集是不胜数的，这一年被称作集合论的出现年。1874年，康托尔在文章中肯定：全部实代数数的集合是可数的，全部无理数的集合是不胜数的，因而非代数数的超越数确实存在，并且远远多于代数数。康托尔的相关证明引起了许多数学家的辩驳。可是康托尔冒着被称之为“精神病”这个称号，仍坚持着自身对集合论的探索。
1878年，康托尔明确提出一一对应
这个概念，作为判断2个集合对等充要条件。所说以一一对应，可以看作：2个集合元素根据投射，可以形成满射关联，一一对应包括了集合原素数量（又称势，即元素个数）相同，这也是科学研究无限集合的一个重要定义。用阿列夫0意味着当然数集的势，用c意味着实数集的势，应用一一对应较为各种各样无限集合大小，在其中，无限集合与比较有限集合最大的区别就是：无限集合能够与其说子集合创建一一对应关联，比如整数金额与双数创建一一对应关联，二者的势是相同的。
1883年，康托尔验证了康托尔定律：一切集合的势都低于其幂集（由集合的子集合所组成的集合）的势，揭露了无限有无穷好几个层级。并且提出了著名的“连续统假定”：可数集的势与不能数集的势之间不存在别的势。由于无理数轴上的数全是连续不断的，所以在无理数范围之内集合的势，又被称为持续势。再来说一下有关可数集与不能数集的差别，可数集（又被称为可列集），一种最少的无穷集合，与大自然数集对等集合，都是可数集。
不能数集，与实数集对等集合，都是不能数集，比如无理数轴上的区段、蛮不讲理数集等。在连续统假定下，无理数范围之内不能数集的势，又被称为连续统数量，（比如实数集的势），因而，连续统数量是最小的不胜数数量。
1895—1897年，康托尔发表了题为《有关超穷集合论的前提》，提出了超限额数量和序数的定义，重新定义了数量与序数的加减法、乘除法和乘方的计算，设立了集合论的数量理论与序数基础理论
，此后，康托尔有关集合论的建设工作中基本实现。
公理集合论：古典集合论建立之后，获得大部分数学家的认可，从整数到集合论能够构建起全部数学课商务大厦，集合论变成了现代数学的重要前提。希尔伯特变换、庞加莱（那时的二位物理学界的你们）曾经在1900年数学会议上高度评价（古典）集合论的深远影响，希尔伯特变换所提出的著名的23种情况中，更是将连续统假定作为第一个难题，由此可见其对于集合论的一致认可。阅读者读到这里，就可能想想：即然古典集合论早已很完善，而且具有重要的数学课影响力，为什么还会有公理集合论的形成呢？
在数学的世界中，各种各样基础理论全是在不断完善持续发展的，集合论亦是如此。虽然古典集合论克服了那时候很多数学题目，但经过数学家的科学研究，古典集合论仍然存在着系统漏洞。
1903年，美国数学家罗素给出了著名的“理发师悖论”（要求就给不容易给自己理发的美发师，到底要不要给自己理发），随后，各种各样谬论迎面而来，数学家们开始意识到古典集合论极大的系统漏洞，间接性引起了
第三次数学危机
。即然难题已经出现了，那就需要处理问题，数学家纷纷要求解决方法，这便促成了数学家们将公理化方法与解析数论去复建集合论。1908年，策佳美娜设立了第一个公理集合系统软件，通过弗伦迪克、冯诺依曼等人填补，获得了策佳美娜——弗伦迪克公理系统，通称ZF系统软件，再加上选择公理后，又被称为ZFC系统软件，一直沿用至今。从本系统内，能够导出来古典集合论中所有的结论，而且消除了罗素悖论等各类已经知道谬论。
此外，古典集合论里的连续统假定（CH）、选择公理（AC）在20新世纪获得重大进展，1940年，哥德尔验证了CH、AC针对ZF全面的相溶性。1963年，沃斯特验证了CH、AC相较于ZF全面的自觉性，即连续统假定在这个系统内没办法证明，与平行面公设不能证同样，换句话说，能够同时使用使CH创立与不成立的系统软件，如同欧式几何与非欧几何一样。哥德尔以前明确提出著名的哥德尔不完善定律，打破希尔伯特变换将数学课公理化的心愿，一切兼容模式体系，没法用以证实它本身的兼容模式。换句话说，在公理集合论中，总是会存有属于该系统本身，但又不能用此系统去证明的定律、假定等。